Question

6．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$（a＞0且a≠1），設g（x）=log_a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有實根，則a的取值范圍是（0，$\frac{3-\sqrt{5}}{16}$]．

Answer 1

分析 化簡可得a=$\frac{x-5}{x+5}$•$\frac{1}{x-3}$（x＞5），再利用換元法令x-5=t（t＞0），從而化簡，結(jié)合基本不等式求a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）-1=g（x），
∴f（x）-g（x）=1，
∴l(xiāng)og_a$\frac{x-5}{x+5}$-log_a（x-3）=1，
∴a=$\frac{x-5}{x+5}$•$\frac{1}{x-3}$（x＞5），
令x-5=t（t＞0），
則a=$\frac{t}{（t+10）（t+2）}$=$\frac{1}{t+\frac{20}{t}+12}$，
∵t+$\frac{20}{t}$≥2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$；
∴0＜a≤$\frac{1}{4\sqrt{5}+12}$，即0＜a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{16}$；
故答案為：（0，$\frac{3-\sqrt{5}}{16}$]．

點評 本題綜合考查了對數(shù)函數(shù)，基本不等式，函數(shù)的值域的求法；同時考查了換元思想的應用．