Question

設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使（C為常數）成立，則稱函數f（x）在D上均值為C．下列五個函數：①y=4sinx；②y=x³；③y=lgx；④y=2^x；⑤y=2x-1．則滿足在其定義域上均值為2的所有函數的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 成立的函數．
對于函數①y=4sinx，因為y=4sinx是R上的周期函數，明顯不成立．
對于函數②y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一的，即可得到成立．
對于函數③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然成立．
對于函數④y=2^x，特殊值法代入驗證不成立成立．即可得到答案．
對于函數⑤y=2x-1，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一的x₂∈R，即可得到成立．
解答：解：對于函數①y=4sinx，明顯不成立，因為y=4sinx是R上的周期函數，存在無窮個的x₂∈D，使 成立．故不滿足條件；
對于函數②y=x³，取任意的x₁∈R，=2，，可以得到唯一的x₂∈D．故滿足條件；
對于函數③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然必存在唯一的x₂∈D，使 成立．故成立；
對于函數④y=2^x定義域為R，值域為y＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．要使 成立，則f（x₂）=-4，不成立；
對于函數⑤y=2x-1定義域為任意實數，取任意的x₁∈R，==x₁+x₂-1=2，
解得x₂=3-x₁，可以得到唯一的x₂∈R．故成立，
故答案為：②③⑤
點評：此題主要應用新定義的方式考查平均值不等式在函數中的應用．對于新定義的問題，需要認真分析定義內容，切記不可偏離題目．