Question

(本小題滿分10分)已知橢圓方程為，設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角(其中O為原點(diǎn))，求直線斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：可設(shè)l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．將y＝kx＋2代入橢圓方程，

得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得. ①

又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，

∵∠AOB為銳角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝.所以. ②

由①②可知，故k的取值范圍是．

考點(diǎn)：直線與橢圓的綜合問題.