Question

15．若圓C：x²+y²=4，點(diǎn)P在直線l：2x-y-6=0上，過點(diǎn)P作圓C的切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，則$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$的最小值為$-\frac{16}{45}$．

Answer 1

分析 PC的最小值即為圓心C到直線直線2x-y-6=0的距離d，由此求得$|\overrightarrow{PE}|、|\overrightarrow{PF}|$的最小值．設(shè)∠CPE=∠CPF=α，則sinα=$\frac{R}{|PC|}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=${\overrightarrow{PE}}^{2}$cos2α=${\overrightarrow{PE}}^{2}$（1-2sin²α），運(yùn)算求得結(jié)果．

解答 解：由于PC的最小值即為圓心C到直線直線2x-y-6=0的距離d=$\frac{|-6|}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
此時(shí)，|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}-4}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，設(shè)∠MPE=∠MPF=α，則sinα=$\frac{R}{|PC|}$=$\frac{2}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$（\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}）_{min}$=${\overrightarrow{PE}}^{2}$cos2α=${\overrightarrow{PE}}^{2}$（1-2sin²α）=$\frac{16}{5}$（1-2×$\frac{5}{9}$）=$-\frac{16}{45}$．
故答案為：$-\frac{16}{45}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，圓的切線性質(zhì)，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．