Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是AC與BD的交點，M是CC₁的中點．
（1）求證：A₁P⊥平面MBD；
（2）求直線B₁M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為坐標原點，向量，，為單位正交基向量，建立空間直角坐標系D-xyz．分別求出向量，，的坐標，根據(jù)•=0，•=0，得到A₁P⊥DB，A₁P⊥DM，由線面垂直的判定定理得A₁P⊥平面MBD；
（2）分別求出直線B₁M的方向向量與平面MBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線B₁M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）分別求出平面ABM與平面MBD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．
解答：解：（1）證明：如圖，以D為坐標原點，向量，，為單位正交基向量，
建立空間直角坐標系D-xyz．則P（，，0），M（0，1，）．
=（-，，-1），=（1，1，0），
=（0，1，），所以=0，=0．
所以
又因為BD∩DM=D，所以A₁P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取=（1，-1，2）為平面MBD的一個法向量．
又=（-1，0，-），
所以cos＜，＞=
所以直線AM與平面MBD所成角的正弦值為．
（3）=（0，1，0），=（-1，0，）．
設(shè)₁=（x，y，z）為平面ABM的一個法向量，則
解得即，故可取₁=（1，0，2）．
由（1）可知，可取=（1，-1，2）為平面MBD的一個法向量．
所以cos＜，₁＞==．
所以平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值為．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中建立適當?shù)淖鴺讼担瑢⒖臻g直線與平面的垂直、平行問題，線面夾角問題，二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．