Question

7．蘋(píng)果iPone6 Plus采用的新一代A8芯片為最快芯片，為進(jìn)一步改革質(zhì)量穩(wěn)定銷(xiāo)售市場(chǎng)，要對(duì)其中某項(xiàng)技術(shù)的五項(xiàng)不同指標(biāo)A、B、C、D、E進(jìn)行改革并順序一一量化檢測(cè)，如果一項(xiàng)指標(biāo)不合格，則該技術(shù)不過(guò)關(guān)，停止測(cè)試；已知每一項(xiàng)測(cè)試都是相互獨(dú)立的，該技術(shù)指標(biāo)A、B、C、D四項(xiàng)指標(biāo)合格的概率均為$\frac{2}{3}$，第五項(xiàng)E合格的概率為$\frac{3}{4}$，假設(shè)每項(xiàng)指標(biāo)合格可得5分，不合格得0分．
（1）若先各項(xiàng)試測(cè)一次初步掌握各項(xiàng)情況，求5項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)中恰有兩項(xiàng)合格的概率；
（2）求該項(xiàng)技術(shù)至少測(cè)試了4項(xiàng)的概率；
（3）記該技術(shù)的最后得分為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況，ABCD中有兩個(gè)合格，E不合格，ABCD中合格一個(gè)，E合格，分別求概率，可得結(jié)論；
（2）該項(xiàng)技術(shù)至少測(cè)試了4項(xiàng)的概率為$（\frac{2}{3}）^{4}$；
（3）X的可能取值為0，5，10，15，20，25，求出相應(yīng)的概率，列出分布列，再求數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）分兩種情況，ABCD中有兩個(gè)合格，E不合格的概率為${C}_{4}^{2}•（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}$$•\frac{1}{4}$=$\frac{2}{27}$，ABCD中合格一個(gè)，E合格的概率為${C}_{4}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{3}•\frac{3}{4}$=$\frac{2}{27}$，所以5項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)中恰有兩項(xiàng)合格的概率為$\frac{4}{27}$；
（2）該項(xiàng)技術(shù)至少測(cè)試了4項(xiàng)的概率為$（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$；
（3）X的可能取值為0，5，10，15，20，25，則
P（X=0）=$（\frac{1}{3}）^{4}•\frac{1}{4}$=$\frac{1}{324}$，P（X=5）=${C}_{4}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{3}•\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{3}）^{4}•\frac{3}{4}$=$\frac{11}{324}$，P（X=10）=$\frac{4}{27}$，
P（X=15）=${C}_{4}^{3}•（\frac{2}{3}）^{3}•\frac{1}{3}•\frac{1}{4}$+${C}_{4}^{2}•（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{3}{4}$=$\frac{104}{324}$，P（X=20）=$（\frac{2}{3}）^{4}•\frac{1}{4}$+${C}_{4}^{3}•（\frac{2}{3}）^{3}•\frac{1}{3}•\frac{3}{4}$=$\frac{112}{324}$，
P（X=25）=$（\frac{2}{3}）^{4}•\frac{3}{4}$=$\frac{48}{324}$．
X的分布列

X	0	5	10	15	20	25
P	$\frac{1}{324}$	$\frac{11}{324}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{104}{324}$	$\frac{112}{324}$	$\frac{48}{324}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{324}$+5×$\frac{11}{324}$+10×$\frac{4}{27}$+15×$\frac{104}{324}$+20×$\frac{112}{324}$+25×$\frac{48}{324}$=$\frac{5535}{324}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查概率的計(jì)算，列出分布列，再求數(shù)學(xué)期望是關(guān)鍵．