Question

已知數(shù)列{a_n}中，，設(shè)．
（Ⅰ）試寫(xiě)出數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，利用代入法，易求出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)，再由，可以求出數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）由已知中，．我們易得到b_n是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再結(jié)合．我們易得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）根據(jù)（II）的結(jié)論，我們可得到{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n的表達(dá)式，利用放縮法，即可證明．
解答：解：（Ⅰ）由，得，．
由，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．
（Ⅱ）證明：因，
故．
顯然，因此數(shù)列b_n是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
即b_n=．
解得．
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222437548177771/SYS201311012224375481777019_DA/17.png">=，
所以；

又=（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)），故．
綜上可得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，是數(shù)列問(wèn)題中難度較大的問(wèn)題，其中不等式解法中的放縮法，數(shù)列的遞推公式，在屬于新課標(biāo)高考考試要求范圍．