Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{2}{π}$倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，數(shù)列{a_n}滿足a_n=g（n），記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S₁₇．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得：f（x）=2$sin（x+\frac{π}{3}）$．即可得出周期．
（2）將f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=$2sin（x+\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）$=2cosx，再把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{2}{π}$倍，縱坐標不變，
可得函數(shù)g（x）=2cos$\frac{π}{2}x$．a(chǎn)_n=g（n）=$2cos\frac{nπ}{2}$，可得a_2k-1=0，a_2k=2coskπ=（-1）^k•2．即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$）+2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{3}（co{s}^{2}\frac{x}{2}-si{n}^{2}\frac{x}{2}）$+sinx
=$\sqrt{3}$cosx+sinx
=2$sin（x+\frac{π}{3}）$．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）將f（x）的圖象先向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=$2sin（x+\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）$=2cosx，
再把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{2}{π}$倍，縱坐標不變，
可得函數(shù)g（x）=2cos$\frac{π}{2}x$．
數(shù)列{a_n}滿足a_n=g（n）=$2cos\frac{nπ}{2}$，
則a₁=0，a₂=-2，a₃=0，a₄=2，…，
可得a_2k-1=0，a_2k=2coskπ=（-1）^k•2．
∴S₁₇=a₂+a₄+…+a₁₆
=2（-1+1-1+1+…-1+1）
=0．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質、倍角公式、和差公式、圖象變換、數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．