Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、D₁B₁的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B₁AC.

Answer 1

證明：設(shè)正方體的棱長為2,取、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則?

A（2，0，0）、C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、E（2，2，1）、F（1，1，2）.?

∴=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),?

=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),?

=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).?

∵·=（-1，-1，1）·（0，2，2）=（-1）×0+（-1）×2+1×2=0，?

·=（-1，-1，1）·（-2，2，0）=2-2+0=0，?

∴EF⊥AB₁，EF⊥AC.?

又AB₁∩AC=A,?

∴EF⊥平面B₁AC.

點(diǎn)評:用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明向量垂直的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并且正確的求出各點(diǎn)及相關(guān)向量的坐標(biāo).