Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2
（1）求異面直線PC與BD所成角的大��；
（2）求點A到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）令A(yù)C與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，BE，則OE∥PC，則直線PC與BD所成角等于直線OE與BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（2）過A作AH⊥OE，垂足為H，則AH⊥平面PBD，求出AH，即可求點A到平面PBD的距離．

解答 解：（1）令A(yù)C與BD交點為O，PA的中點為E，連接OE，BE如圖所示：
∵O為BD的中點，則EO=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$，且OE∥PC，
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=2，BD=2$\sqrt{2}$．
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{5}$，
∴|cos∠EOB|=|$\frac{3+2-5}{2•\sqrt{3}•\sqrt{2}}$|=0，
即異面直線PC與BD所成角為90°；
（2）過A作AH⊥OE，垂足為H，則AH⊥平面PBD．
在直角三角形AOE中，AE=1，OA=$\sqrt{2}$，OE=$\sqrt{3}$，
由等面積可得AH=$\frac{1•\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查異面直線及其所成的角，點A到平面PBD的距離，將空間問題轉(zhuǎn)化為一個平面解三角形的問題是解題的關(guān)鍵．