Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,EB₁=1,D、F、G分別為CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中點(diǎn)，EF與B₁D相交于點(diǎn)H.

(1)求證：B₁D⊥平面ABD；

(2)求證：平面EGF∥平面ABD；

(3)求平面EGF與平面ABD的距離.

Answer 1

解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B₁(0,0,0),B(0,0,4),D(2,0,2).

設(shè)A₁(0,a,0),則A(0,a,4).

(1)證明:=(2,0,2),=(2,0,-2),=(0,a,0),

∴

∴B₁D⊥BD,B₁D⊥BA.

∴B₁D⊥平面ABD.

(2)證明:又由已知有C₁(2,0,0),E(0,0,1),G(1,,0),F(1,0,0),

∴=(1,0,-1),=(0,,0).

∴

∴BD∥EF,BA∥FG.

∴EF∥平面ABD，FG∥平面ABD.

又EF∩FG=F,

∴平面EGF∥平面ABD.

(3)由上述知是平面ABD與平面EGF的法向量，

又=(0,0,3),

∴兩平面之間的距離為d=