Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＞m\\{x^2}+4x+2，x≤m\end{array}\right.$的圖象與直線y=x恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，2）．

Answer 1

分析 由題意可得只要滿足直線y=x和射線y=2（x＞m）有一個(gè)交點(diǎn)，而且直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的兩個(gè)交點(diǎn)即可，畫(huà)圖便知，直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，-2）（-1，-1），由此可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可得射線y=x與函數(shù)f（x）=2（x＞m）有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
而直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2，至多兩個(gè)交點(diǎn)，
題目需要三個(gè)交點(diǎn)，則只要滿足直線y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可，

畫(huà)圖便知，y=x與函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象交點(diǎn)為A（-2，-2）、B（-1，-1），故有 m≥-1．
而當(dāng)m≥2時(shí)，直線y=x和射線y=2（x＞m）無(wú)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，2），
故答案為：[-1，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)分段函數(shù)，分類(lèi)討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．