Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，當E、F分別在線段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2．現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊，如圖2，使平面ABFE與平面EFCD垂直．
（1）判斷直線AD與BC是否共面，并證明你的結論；
（2）當直線AC與面EFCD所成角的正切值為多少時，二面角A-DC-E的大小是60°？

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用反證法證明AD、BC是異面直線；（2）先證明∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，再求∠AHE的正切值．

解答： 解：（1）AD、BC是異面直線，（1分）
（反證法）假設AD、BC共面為α．
∵EF⊥BC，∠ABC=90°，∴EF⊥AB，EF?α，AB?α．
∴EF⊥α，又EFCD∩α=CD∴EF⊥CD，∴CD⊥AB．
這與ABCD為梯形矛盾．故假設不成立．即AD、BC是異面直線．…（6分）
（2）延長CD，F(xiàn)E相交于N，由已知∴ED=2，CF=4設AB=x則△NDE中，NE=x，
∵AE⊥EF，平面ABFE平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．過E作EH⊥DN于H，連結AH，
則AH⊥DN．∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，
則∠AHE=60°．∵NE=x，DE=2，∴HE=

2x

x2+4

，AE=2，
∴tan∠AHE=

AE

EH

=

x2+4

x

=

3

x²=2，x=

2

，
此時在△EFC中，EF=

2

，F(xiàn)C=4∴EC=3

2

．又AE⊥平面EFCD，
∴∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角，
∴tan∠ACE=

AE

EC

=

2

3 2

=

2

3

．
即當直線AC與平面EFCD所成角的正切值為

2

3

時，二面角A-DE-E的
大小為60°．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線的判定，其中（1）中反證法關鍵是由假設結論不成立，推理后得到矛盾，直接法是要熟練掌握異面直線的判定定理，（2）的關鍵是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角．