Question

5．若函數(shù)f（x）=（x-2）²|x-a|在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 先去絕對(duì)值得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}（x-a）}&{x≥a}\\{（x-2）^{2}（a-x）}&{x＜a}\end{array}\right.$，然后對(duì)每段函數(shù)分別求導(dǎo)：x≥a時(shí)，f′（x）=$3（x-2）（x-\frac{2a+2}{3}）$，要使f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，則需f′（x）≥0，所以需要$\frac{2a+2}{3}≤2$，解出a即可，同樣根據(jù)第二段函數(shù)可再一個(gè)a的范圍，和前面的a的范圍求并集即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}（x-a）}&{x≥a}\\{（x-2）^{2}（a-x）}&{x＜a}\end{array}\right.$；
∴（1）x≥a時(shí)，f′（x）=$3（x-2）（x-\frac{2a+2}{3}）$；
∴要使f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，只需f′（x）≥0；
∴$\frac{2a+2}{3}≤2$；
解得a≤2；
（2）x＜a時(shí)，f′（x）=3（x-2）$（\frac{2a+2}{3}-x）$；
同上面需$\frac{2a+2}{3}≥4$；
解得a≥5；
∴綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，以及處理絕對(duì)值函數(shù)的方法：去絕對(duì)值，分段函數(shù)單調(diào)性的處理方法．