Question

 如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥AB，PA⊥AD，點(diǎn)Q是PA的中點(diǎn)，PA=4，AB=2．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求點(diǎn)Q到BD的距離．

Answer 1

（1）連接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴AC為斜線(xiàn)PC在平面ABCD內(nèi)的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD（4分）
∴PC⊥BD（6分）
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OQ
∵Q為PA中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)Q到BD的距離（9分）
∵AB=2，PA=4
∴AC=2

2

∴OA=

2

，QA=2
∴OQ=

QA2+OA2

=

6

即點(diǎn)Q到BD的距離為

6

（12分）