Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解不等式即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（1+x）e^x-（x+1）=（1+x）（e^x-1），
由f′（x）＞0，得（1+x）（e^x-1）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{{e}^{x}-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1+x＜0}\\{{e}^{x}-1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
即x＞0或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
同理由f′（x）＜0得-1＜x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，0]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．