Question

設定義域為R的函數(shù)f（x）=

a  (x=1) ( 1 2 )|x+1|+1(x≠1)

，若關于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、(0，

  1

  2

  )∪(

  1

  2

  ，1)
• C、（1，2）
• D、(1，

  3

  2

  )∪(

  3

  2

  ，2)

Answer 1

分析：題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有5個不同實數(shù)解，即要求對應于f（x）=某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根；再結合2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，即可求出結論．

解答：解：∵題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5個不同實數(shù)解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根．
所以有：1＜a＜2    ①．
再根據(jù)2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

     ②
結合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識，屬于難題，采用數(shù)形結合的方法解決，使本題變得易于理解．數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．