Question

11．為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：

天數(shù)x/天	1	2	3	4	5	6
繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)	6	12	25	49	95	190

（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y=a+bx與y=${C_1}{e^{{C_2}x}}$哪一個(gè)作為繁殖的個(gè)數(shù)y關(guān)于時(shí)間x變化的回歸方程類型為最佳？（給出判斷即可，不必說明理由）

$\overline x$	$\overline y$	$\overline z$	$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x}{）^2}$	$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x}）（{y_i}-\overline y）$	$\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x}）（{z_i}-\overline z）$
3.5	6283	3.53	17.5	596.505	12.04

其中z_i=lny_i；$\overline z=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{z_i}$
（2）根據(jù)（1）的判斷最佳結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x 的回歸方程．
參考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$$a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)收集數(shù)據(jù)，可得數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線y=ce^bx（c＞0）的周圍，則lny=bx+lnc．變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸方程來擬合，即可求出y對(duì)x的回歸方程．

解答 解：（1）作出散點(diǎn)圖如圖1所示．

由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y=${C_1}{e^{{C_2}x}}$的周圍，于是選擇y=${C_1}{e^{{C_2}x}}$
（2）令Z=lny，則$\hat Z=bX+a$

x	1	2	3	4	5	6
Z	1.79	2.48	3.22	3.89	4.55	5.25

相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖2．
從圖2可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因此可以用線性回歸方程來擬合．
由$b=\frac{{\sum_{i=1}^6{（{x_i}-\overline x）（{z_i}-\overline z）}}}{{\sum_{i=1}^6{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=$\frac{12.04}{17.5}=0.688$，$a=\overline z-b\overline x$=1.122
得$\hat Z=0.688X+1.122$；  則有$\hat y={e^{0.688x+1.122}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查散點(diǎn)圖，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．