Question

15．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），P為直線$x=\frac{a^2}{c}$上一點，F(xiàn)₁P的垂直平分線恰過F₂點，則e的取值范圍為（　�。�

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• C． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$
• D． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$

Answer 1

分析 設點P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），則由中點公式可得線段PF₁的中點K的坐標，根據(jù) 線段PF₁的斜率與 KF2的斜率之積等于-1，求出m²的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得e的范圍，再結(jié)合橢圓離心率的范圍進一步e的范圍．

解答 解：由題意得F₁（-c，0）），F(xiàn)₂（c，0），設點P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），
則由中點公式可得線段PF₁的中點K（$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}$，$\frac{m}{2}$），
∴線段PF₁的斜率與 KF₂的斜率之積等于-1，
∴$\frac{m-0}{\frac{{a}^{2}}{c}+c}$•$\frac{\frac{m}{2}-0}{\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}-c}$=-1，
∴m²=-（$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）•（$\frac{{a}^{2}}{c}$-3c）≥0，∴a⁴-2a²c²-3c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥$\frac{1}{3}$，或e²≤-1（舍去），
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又橢圓的離心率0＜e＜1，故$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e＜1，
故選：D．

點評 本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質(zhì)，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，屬于中檔題．