Question

3．A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為△ABC的中心，D是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（2-2λ）$\overrightarrow{OD}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），則點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的（　�。�

• A． 內(nèi)心
• B． 外心
• C． 垂心
• D． 重心

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（2-2λ）$\overrightarrow{OD}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），且$\frac{1}{3}（2-2λ）+\frac{1}{3}（1+2λ）=1$，得到點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的重心．

解答 解：∵A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為△ABC的中心，D是AB的中點(diǎn)，
動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（2-2λ）$\overrightarrow{OD}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），
且$\frac{1}{3}（2-2λ）+\frac{1}{3}（1+2λ）=1$，
∴P、C、D三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的重心．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形五心性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量性質(zhì)的合理運(yùn)用．