Question

20．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過（4，0），且在y軸上截得的弦長為8，記動(dòng)圓圓心的軌跡為C，過點(diǎn)T（6，0）的直線l交曲線C于A、B，若以A為圓心，TA為半徑的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)（2，0），求△MNF面積的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)圓心C（x，y），過點(diǎn)C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|=4，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用兩點(diǎn)間的距離公式得出動(dòng)圓圓心的軌跡方程，確定以A為圓心，|AT|為半徑的圓的方程，求出|MN|的范圍，即可求出△MNF面積的取值范圍．

解答 解：設(shè)圓心C（x，y），過點(diǎn)C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|=4，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化為y²=8x．
設(shè)A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），則y₁²=8x₁，①
以A為圓心，|AT|為半徑的圓的方程為（x-x₁）²+（y-y₁）²=（6-x₁）²+y₁²，
令x=0，則x₁²+（y-y₁）²=（6-x₁）²+y₁²，②
把①代入②得（y-y₁）²=36-4x₁，
∴y=y₁+$\sqrt{36-4{x}_{1}}$或y=y₁-$\sqrt{36-4{x}_{1}}$，
∴|MN|=|y_M-y_N|=2$\sqrt{36-4{x}_{1}}$∈（0，12）
∴S_△MNF=$\frac{1}{2}$•|MN|•|OF|∈（0，12）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．