Question

14．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$，若函數y=f[f（x）+a]有四個零點，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． [-2，2）
• B． [1，5）
• C． [1，2）
• D． [-2，5）

Answer 1

分析 令f[f（x）+a]=0得f（x）+a=-1或f（x）+a=2，從而由函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$在兩段上分別單調知f（x）+a=-1與f（x）+a=2都有兩個解，作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$的圖象，由數形結合求解．

解答 解：令f[f（x）+a]=0得，
f（x）+a=-1或f（x）+a=2，
又∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$在兩段上分別單調，
∴f（x）+a=-1與f（x）+a=2都有兩個解，
即f（x）=-1-a與f（x）=2-a都有兩個解，
作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，\;\;x≤0\\{2^x}-4，\;\;x＞0\end{array}$的圖象如下，

則$\left\{\begin{array}{l}{-3＜-1-a≤1}\\{-3＜2-a≤1}\end{array}\right.$，
解得，1≤a＜2，
故選：C．

點評 本題考查了分段函數的應用及函數零點與方程的根的關系應用，屬于基礎題．