Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明AC⊥BD，再利用向量的方法證明DB⊥AP，從而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出平面PDB的法向量為，，從而可求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（Ⅲ）求出平面ABP的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-PB-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD
以O(shè)A、OB所在直線分別x軸，y軸．以過(guò)O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則
∵…（2分）
∴
∴DB⊥AP
∵AC⊥BD，AC∩AP=A
∴DB⊥平面PAC，又DB?平面PDB
∴平面PBD⊥平面PAC…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面PDB的法向量為，
由，∴
令z₁=1得…（6分）
∵
∴點(diǎn)A到平面PBD的距離=…（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)平面ABP的法向量，
∵，∴
∴…（10分）
∴…（11分）
∴二面角A-PB-D的余弦值為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查點(diǎn)到平面的距離，考查面面角，考查利用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．