Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，則C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n=3ⁿ-2ⁿ．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．于是C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n=C${\;}_{n}^{1}$×2+C${\;}_{n}^{2}$×2²+…+C${\;}_{n}^{n}$2ⁿ-（C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$），再利用二項(xiàng)式定理即可得出．

解答 解：由a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
∴C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n=C${\;}_{n}^{1}$×2+C${\;}_{n}^{2}$×2²+…+C${\;}_{n}^{n}$2ⁿ-（C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$）
=（1+2）ⁿ-1-2ⁿ+1
=3ⁿ-2ⁿ．
故答案為：3ⁿ-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．