Question

16．如圖，從棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵皮箱ABCD-A₁B₁C₁D₁中分離出來(lái)由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形．
（1）記CC₁的中點(diǎn)為E，求異面直線EB₁與A₁C₁所成角的大�。�
（2）如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多能盛多少cm³體積的水．

Answer 1

分析 （1）取DD₁的中點(diǎn)F，連A₁F，則∠FA₁C₁為所求的角，然后利用余弦定理求之；
 （2）最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C₁-CD₁B₁的體積．

解答 解：（1）取DD₁的中點(diǎn)F，連A₁F，則∠FA₁C₁為所求的角           …（2分）
在△FA₁C₁中，易知：A₁C₁為=6$\sqrt{2}$，F(xiàn)A₁=FC₁為=3$\sqrt{5}$，
cos∠FA₁C₁=$\frac{F{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-F{{C}_{1}}^{2}}{2F{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
所以∠FA₁C₁=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$；                …（5分）
從而異面直線EB₁與A₁C₁所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$；                 …（6分）
（2）最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C₁-CD₁B₁的體積        …（9分）
${V}_{{C}_{1}-C{D}_{1}{B}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{6}^{3}$=36cm³．
用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，則最多能盛36cm³體積的水．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體中異面直線所成的角以及三棱錐的體積求法；關(guān)鍵是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角解答．