Question

7．若關(guān)于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜4}，則關(guān)于x的不等式ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）的解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$}或{x|-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 （1）關(guān)于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜4}，可知：-$\frac{1}{2}$，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a．再對(duì)a分類討論利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜4}，
∴-$\frac{1}{2}$，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴-$\frac{1}{2}$×4=$\frac{4}{a}$，解得a=-2．
不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）即為-2mx²+（m-2）x+1＞0，化為2mx²+（2-m）x-1＜0．
當(dāng)m=0時(shí)，不等式化為2x-1＜0，解得x＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng)m＞0時(shí)，不等式化為（mx+1）（2x-1）＜0，解得-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)m=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$}；
當(dāng)m＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
故答案為：{x|x＜$\frac{1}{2}$}或{x|-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、分類討論的思想方法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力．