Question

已知函數(shù)y=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）=x+

4

x

，其定義域為{x∈R|x≠0}，請指出它的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)y=x+

3m

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求實數(shù)m的值；
（3）若把函數(shù)f（x）=x²+

a

x2

（常數(shù)a＞0）在[1，2]上的最小值記為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)已知的條件結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定結(jié)論；
（2）找到最小值，然后列出關于a的方程即可；
（3）利用換元法求解．

解答： 解：（1）由已知得該函數(shù)在（0，2]遞減，在[2，+∞）上遞增；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以f（x）在[-2，0）上遞減，在（-∞，-2]上遞增．
故函數(shù)f（x）在（0，2]，[-2，0）上遞減；在[2，+∞），（-∞，-2]上遞增．
（2）因為x＞0，且3^m＞0，故由已知得y=x+

3m

x

（x＞0）在(0，

3m

]遞減，在[

3m

，+∞）上遞增，故當x=

3m

時，ymin=2

3m

=6．
解得m=2．
（3）由已知，令t=x²∈[1，4]．則原函數(shù)化為y=t+

a

t

，t∈[1，4]．
則當0＜

a

≤1時，即0＜a≤1時，該函數(shù)在[1，4]上遞增，故x=1時，y_min=a+1；
當1＜

a

≤4時，即1＜a≤16時，函數(shù)f（x）在[1，

a

）上遞減，在[

a

，4]上遞增，故t=a時，y_min=2

a

；
當

a

＞4時，即a＞16，函數(shù)f（x）在[1，4]上遞減，故x=4時，ymin=4+

a

4

．
故g(a)=

a+1，0＜a≤1 2 a ，1＜a≤16 4+ a 4 ，a＞16

．

點評：本題考查了雙勾函數(shù)的單調(diào)性及其應用，考查了分類討論的思想，要注意體會．仔細總結(jié)．