Question

20．已知拋物線(xiàn)方程為x²=2py（p＞0），其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F作斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，設(shè)兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)M．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（2）設(shè)直線(xiàn)MF與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，且四邊形ACBD的面積為$\frac{32}{3}{p^2}$，求直線(xiàn)AB的斜率k．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，代入拋物線(xiàn)的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)即可得到所求值；
（2）求得切線(xiàn)的斜率和切線(xiàn)的方程，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，可得|AB|，|CD|，求得四邊形ABCD的面積，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，解方程可得k的值．

解答 解：（1）設(shè)直線(xiàn)AB方程為$y=kx+\frac{p}{2}，A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}）$，
聯(lián)立直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)方程
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{p}{2}}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx-p²=0，
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂=x₁x₂+（kx₁+$\frac{p}{2}$）（kx₂+$\frac{p}{2}$）
=（1+k²）x₁x₂+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{pk}{2}$（x₁+x₂）
=（1+k²）（-p²）+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{pk}{2}$•2pk=-$\frac{3}{4}$p²；
（2）由x²=2py，知$y'=\frac{x}{p}$，
可得曲線(xiàn)在A，B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率分別為$\frac{x_1}{p}，\frac{x_2}{p}$，
即有AM的方程為$y-{y_1}=\frac{x_1}{p}（x-{x_1}）$，BM的方程為$y-{y_2}=\frac{x_2}{p}（x-{x_2}）$，
解得交點(diǎn)$M（pk，-\frac{p}{2}）$，
則${k_{MF}}=-\frac{1}{k}$，知直線(xiàn)MF與AB相互垂直．
由弦長(zhǎng)公式知，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{p}^{2}{k}^{2}+4{p}^{2}}$=2p（1+k²），
用$-\frac{1}{k}$代k得，$\left|{CD}\right|=2p（\frac{1}{k^2}+1）$，
四邊形ACBD的面積$S=2{p^2}（2+{k^2}+\frac{1}{k^2}）=\frac{32}{3}{p^2}$，
依題意，得${k^2}+\frac{1}{k^2}$的最小值為$\frac{10}{3}$，
根據(jù)$f（x）=x+\frac{1}{x}\;（x＞0）$的圖象和性質(zhì)得，k²=3或${k^2}=\frac{1}{3}$，
即$k=±\sqrt{3}$或$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，主要是相切的條件，考查直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．