Question

20．已知一條封閉的曲線C由一段圓弧C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]和一段拋物線弧C₂：y²=2（x+$\frac{1}{2}$）（x＜1）組成．
（1）求曲線C的極坐標方程；（X軸的正半軸為極軸，原點為極點）
（2）若過原點的直線1與曲線C交于A、B兩點，l的傾斜角α∈[0，$\frac{π}{3}$]，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先，將所給參數(shù)方程化為普通方程，然后，化為極坐標方程，對拋物線方程直接化為極坐標方程即可；
（2）對θ的取值情況進行討論，從而確定|AB|的取值范圍．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$，得
x²+y²=4，
∵t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x∈[-1，1]，y∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
此時對應的極坐標方程為ρ=2，θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∵拋物線弧C₂：y²=2（x+$\frac{1}{2}$）（x＜1）組成．
此時對應的極坐標方程為ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$，θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴ρ=$\left\{\begin{array}{l}{2，θ∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]}\\{\frac{1}{1-cosθ}，θ∈（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）}\end{array}\right.$；
（2）結合（1）知，|AB|=ρ_θ+ρ_β+π，根據(jù)圖形，得
當θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時，θ+π∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，此時，
|AB|=ρ_θ+ρ_β+π
=2+$\frac{1}{1-cos（θ+π）}$
=2+$\frac{1}{1+cosθ}$，
∴|AB|∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{8}{3}$]，
當θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）時，θ+π∈（$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），此時，
|AB|=ρ_θ+ρ_β+π
=$\frac{1}{1-cosθ}$+$\frac{1}{1-cos（θ+π）}$
=$\frac{1}{1-cosθ}$+$\frac{1}{1+cosθ}$，
=$\frac{2}{1-co{s}^{2}θ}$，
∵θ∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$）時，由圖形對稱性，知
范圍與上述一致，綜上，得
|AB|∈[2，$\frac{8}{3}$]．

點評 本題重點考查了參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標方程等知識，屬于中檔題．