Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R），
(Ⅰ)若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
(Ⅱ)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)設(shè)g（x）=x²-2x，若對任意x₁∈(0，2]，均存在x₂∈(0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍。

Answer 1

解：，
（Ⅰ），解得；
（Ⅱ），
①當a≤0時，，
在區(qū)間（0，2）上，f′（x）＞0；在區(qū)間（2，+∞）上f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）；
②當，
在區(qū)間（0，2）和上，f′（x）＞0；在區(qū)間上f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和，單調(diào)遞減區(qū)間是；
③當，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
④當，
在區(qū)間和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間上f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是；
（Ⅲ）由已知，在(0，2]上有，
由已知，，
由（Ⅱ）可知，
①當時，f（x）在(0，2]上單調(diào)遞增，
故，
所以，
故；
②當時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故；
由，
所以，
綜上所述，。