Question

數(shù)列{a_n} 的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ
（1）當(dāng)k=1，p=5時，若數(shù)列{a_n}是成等比數(shù)列，求t的值；
（2）當(dāng)t=1，k=1時，設(shè)T_n=a₁+++…++，參照高二教材書上推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式的推導(dǎo)方法，求證：數(shù)列是一個常數(shù)；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}是一個等比數(shù)列，求t（用p，k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，得到等比數(shù)列（a_n}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）+…++，+…+，由此能夠證明=a₁-6=-5．
（3），，數(shù)列{a_n}是一個等比數(shù)列，所以求出公比為p，由此能求出t．
解答：解：（1），
，…（2分）
設(shè)等比數(shù)列（a_n}的公比是q，
則•5，
∴q=5，…（4分）
n=1時，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）證明：+…++，
+…+，…（7分）
∴（1+）T_n=2a₁+++…++=，…（9分）
∴=a₁-6=-5．…（10分）
（3），
，…（11分）
數(shù)列{a_n}是一個等比數(shù)列，所以求出公比為p，…（13分）
∴t（p^n-1+pⁿ+…+p^n+k-1）=6pⁿ，…（15分）
當(dāng)p=1時，t（k+1）=6，∴t=，…（16分）
當(dāng)p≠1，且p＞0時，t=6pⁿ，
∴t=．…（17分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，有一定的探索性，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．