Question

15．已知橢圓C：x²+3y²=6的右焦點為F．
（Ⅰ）求點F的坐標和橢圓C的離心率；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0）過點F，且與橢圓C交于P，Q兩點，如果點P關(guān)于x軸的對稱點為P′，判斷直線P'Q是否經(jīng)過x軸上的定點，如果經(jīng)過，求出該定點坐標；如果不經(jīng)過，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的標準方程即可得出；
（II）直線l：y=kx+m（k≠0）過點F，可得l：y=k（x-2）．代入橢圓的標準方程可得：（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．（依題意△＞0）．
設(shè) P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得根與系數(shù)的關(guān)系．點P關(guān)于x軸的對稱點為P'，則P'（x₁，-y₁）．可得直線P'Q的方程可以為$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，令y=0，$x=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，
∴c²=a²-b²=4，解得c=2，
∴焦點F（2，0），離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0）過點F，
∴m=-2k，
∴l(xiāng)：y=k（x-2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=6\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．（依題意△＞0）．
設(shè) P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}．{x_2}=\frac{{12{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$．
∵點P關(guān)于x軸的對稱點為P'，則P'（x₁，-y₁）．
∴直線P'Q的方程可以設(shè)為$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
令y=0，$x=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$
=$\frac{{k{x_2}（{x_1}-2）+k{x_1}（{x_2}-2）}}{{k（{x_1}+{x_2}-4）}}$
=$\frac{{2{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}-4）}}$
=$\frac{{2\frac{{12{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}-2\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}}}{{（\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}-4）}}$=3．
∴直線P'Q過x軸上定點（3，0）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．