Question

7．深圳市于2014年12月29日起實(shí)施小汽車限購政策．根據(jù)規(guī)定，每年發(fā)放10萬個小汽車名額，其中電動小汽車占20%，通過搖號方式發(fā)放，其余名額通過搖號和競價(jià)兩種方式各發(fā)放一半．政策推出后，某網(wǎng)站針對不同年齡段的申請意向進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下表所示：

申請意向 年齡	搖號		競價(jià)（人數(shù)）	合計(jì)
	電動小汽車（人數(shù)）	非電動小汽車（人數(shù)）
30歲以下 （含30歲）	50	100	50	200
30至50歲 （含50歲）	50	150	300	500
50歲以上	100	150	50	300
合計(jì)	200	400	400	1000

（1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，求其中各種意向人數(shù)；
（2）在（1）中選出的10個人中隨機(jī)抽取4人，求其中恰有2人有競價(jià)申請意向的概率；
（3）用樣本估計(jì)總體，在全體市民中任意選取4人，其中搖號申請電動小汽車意向的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）求出每個人被抽到的概率為P=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，按比例求解得出各種意向人數(shù)；
（2）運(yùn)用：選出的10個人中隨機(jī)抽取4人總共有${C}_{10}^{4}$=210，其中恰有2人有競價(jià)申請意向的有：${C}_{4}^{2}$${×C}_{6}^{2}$=90，根據(jù)古典概率求解即可．
（3）在全體市民中任意選取4人，其中搖號申請電動小汽車意向的概率為p=$\frac{200}{1000}$=$\frac{1}{5}$，判斷出此問為二項(xiàng)分B（4，$\frac{1}{5}$），運(yùn)用幾何分布求解即可．

解答 解：（1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，
∵從30至50歲的有500人，
∴每個人被抽到的概率為P=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，
根據(jù)題意得出：電動小汽車，搖號的有50×$\frac{1}{50}$=1，
非電動小汽車，搖號的有150×$\frac{1}{50}$=3，
競價(jià)的有300×$\frac{1}{50}$=6，
（2）設(shè)電動小汽車，搖號的為a₁，非電動小汽車，搖號的為b₁，b₂，b₃；
競價(jià)的為：c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，c₆，
∵選出的10個人中隨機(jī)抽取4人總共有${C}_{10}^{4}$=210，
其中恰有2人有競價(jià)申請意向的有：${C}_{4}^{2}$${×C}_{6}^{2}$=90，
∴其中恰有2人有競價(jià)申請意向的概率為：P=$\frac{90}{210}$=$\frac{3}{7}$．
（3）根據(jù)題意得出：樣本總?cè)藬?shù)1000人
電動小汽車，搖號的有200人，非電動小汽車，搖號的有400人，競價(jià)的有400，
總共有1000人，
用樣本估計(jì)總體，在全體市民中任意選取4人，其中搖號申請電動小汽車意向的概率為p=$\frac{200}{1000}$=$\frac{1}{5}$，
服從二項(xiàng)分布B（4，$\frac{1}{5}$），搖號申請電動小汽車意向的人數(shù)記為ξ=0，1，2，3，4
∴P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}$×（$\frac{1}{5}$）⁰×（$\frac{4}{5}$）⁴=$\frac{256}{625}$．
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}$×$\frac{1}{5}$×（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{256}{625}$．
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}$×（$\frac{1}{5}$）²×（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{96}{625}$．
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}$×（$\frac{1}{5}$）³×（$\frac{4}{5}$）=$\frac{16}{625}$．
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}$×（$\frac{1}{5}$）⁴×（$\frac{4}{5}$）⁰=$\frac{1}{625}$．
分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

E（ξ）=0×$\frac{256}{625}$+1×$\frac{256}{625}$+2×$\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查分層抽樣、排列組合、古典概型、二項(xiàng)分布等知識，考查了考生讀取圖表、數(shù)據(jù)處理的能力．