Question

（2009•山東模擬）已知函數(shù)f（x）=log2

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）用定義討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）令

1+x

1-x

＞0解得即可；
（2）利用奇偶性的定義判斷；
（3）在定義域內(nèi)設(shè)兩變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，比較f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，若f（x₁）＜f（x₂），則為增函數(shù)，若f（x₁）＞f（x₂），則為減函數(shù)．

解答：解：（1）

1+x

1-x

＞0解得：-1＜x＜1，所以，f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x）．
所以f（x）是定義域上的奇函數(shù)．
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

，因?yàn)?1＜x₁＜x₂＜1，所以0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
0＜1-x₂＜1-x₁＜2，所以0＜

1+x1

1+x2

＜1，0＜

1-x2

1-x1

＜1，即0＜

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜1，
所以log2

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜0，f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在定義域（-1，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)定義域的求法、奇偶性和單調(diào)性的判斷，都屬基礎(chǔ)題目，對(duì)于該類題目要熟練掌握其基本方法．