Question

已知函數(shù)，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的最小值為0，回答下列問(wèn)題：

（ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

…

（ⅱ）已知數(shù)列滿足,，記[]表示不大于的最大整數(shù)，求，求．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且．

當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；    

當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上述：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；

                時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

（2）（�。┯桑�1）知，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，不合題意；           

當(dāng)時(shí)，        

令，則，

由，解得；由，解得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

故，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，=0.

因此，．                    

（ⅱ）因?yàn)?sub>，所以.

由得于是．因?yàn)?sub>，所以.

猜想當(dāng)，時(shí)，．     

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

①當(dāng)時(shí)，，故成立．    

②假設(shè)當(dāng) (，)時(shí)，不等式成立. 則當(dāng)時(shí)，，

由（1）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以，又因?yàn)?sub>，．

故成立，即當(dāng)時(shí)，不等式成立．

根據(jù)①②可知，當(dāng)，時(shí)，不等式成立．  

…