Question

已知半徑為1的定圓⊙P的圓心P到定直線l的距離為2，Q是l上一動點，⊙Q與⊙P相外切，⊙Q交l于M、N兩點，對于任意直徑MN，平面上恒有一定點A，使得∠MAN為定值．求∠MAN的度數．

Answer 1

考點：圓的切線方程,圓方程的綜合應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：先建立平面直角坐標系，設出點Q，點A，點M，點N的坐標，用余弦定理表示∠MAN的值，然后化簡．

解答： 解：以l為x軸，點P到l的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，設Q的坐標為（x，0），點A（k，λ），⊙Q的半徑為r，則：M（x-r，0），N（x+r，0），P（2，0），PQ=

x2+4

=1+r．所以x=±

r2+2r-3

，
∴tan∠MAN=

kAN-kAM

1+kANkAM

=

2rh

h2+k2-3+2r±2k r2+2r-3

，
令2m=h²+k²-3，tan∠MAN=

1

n

，所以m+r±k

r2+2r-3

=nhr，∴m+（1-nh）r=±k

r2+2r-3

，
兩邊平方，得：m²+2m（1-nh）r-（1-nh）²r²=k²r²+2k²r-3k²，
因為對于任意實數r≥1，上式恒成立，所以

m2=-3k2(1) 2m(1-nh)=2k2(2) (1-nh)2=k2(3)

，
由（1）（2）式，得m=0，k=0，由（3）式，得n=

1

h

．
由2m=h²+k²-3得h=±

3

，所以tan∠MAN=

1

n

=h=±

3

．
所以∠MAN=60°或120°（舍）（當Q（0，0），r=1時∠MAN=60°），故∠MAN=60°．

點評：本題主要考查坐標法解決實際問題，圓與圓的位置關系，兩點間距離公式，解三角形，恒成立問題等知識的綜合應用，屬于難題．