Question

已知：的最小值。

Answer 1

解析:

錯解 (a+)²+(b+)²=a²+b²+++4≥2ab++4≥4+4=8,

∴(a+)²+(b+)²的最小值是8.

分析 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

事實上，原式= a²+b²+++4=( a²+b²)+(+)+4=[(a+b)²－2ab]+[(+)²－]+4= (1－2ab)(1+)+4，

由ab≤()²= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，

∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立)，

∴(a + )² + (b + )²的最小值是。