Question

6．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為4m²，問x，y分別為多少時用料最��？并求最省用料．

Answer 1

分析 通過設面積為S，利用S=xy+$\frac{{x}^{2}}{4}$=4可知y=$\frac{4}{x}$-$\frac{x}{4}$，進而化簡可知c=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{8}{x}$，利用基本不等式計算即得結論．

解答 解：設面積為S，則S=xy+$\frac{{x}^{2}}{4}$=4，y=$\frac{4}{x}$-$\frac{x}{4}$，
∴c=2x+2y+$\sqrt{2}$x
=（2+$\sqrt{2}$）x+2（$\frac{4}{x}$-$\frac{x}{4}$）
=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{8}{x}$
≥2$\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{2}x•\frac{8}{x}}$=4$\sqrt{2}$+4，
當且僅當$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{8}{x}$即x=4$\sqrt{2}$-4、y=2時取等號，
于是當x=（4$\sqrt{2}$-4）米、y=2米時用料最省，為（4$\sqrt{2}$+4）米．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．