Question

4．已知三棱錐P-ABC，C是以AB為直徑的圓周上異于A、B的任一點，PA⊥平面ABC，PA=AB=2
（1）求證：BC⊥平面PAC
（2）求三棱錐P-ABC體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中PA垂直平面ABC，AB是⊙O的直徑，易得PA⊥BC，BC⊥AC，我們易結(jié)合線面垂直的判定定理得到BC⊥面PAC
（2）表示出三棱錐P-ABC的體積，利用基本不等式，即可求三棱錐P-ABC體積的最大值．

解答 （1）證明：（1）∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
而PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
（2）解：設(shè)AC=x，則BC=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•$$\sqrt{4-{x}^{2}}$•2=$\frac{1}{3}$x$\sqrt{4-{x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤$\frac{4}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=4-x²，取等號，
∴AC=$\sqrt{2}$時，三棱錐P-ABC體積的最大值為$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計算，其中熟練掌握空間線面垂直的判定、性質(zhì)，善于根據(jù)直角三角形、圓周角的性質(zhì)，判斷出直線與直線垂直是解答本題的關(guān)鍵．