Question

18．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）-g（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）求使f（x）-g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；利用定義法．
設(shè)F（x）=f（x）-g（x），判斷F（-x）=-F（x），得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)的奇偶性整理不等式為log_a（x+1）＞log_a（1-x），對(duì)底數(shù)a分類討論得出x的范圍，．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），若要式子有意義，
則$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，即-1＜x＜1．所以所求定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
設(shè)F（x）=f（x）-g（x），
則F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（-x+1）-log（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-F（x），
所以f（x）-g（x）是奇函數(shù)．----------------------（4分）
（2）f（x）-g（x）＞0，即 log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，上述不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\\ x+1＜1-x\end{array}\right.$，解得-1＜x＜0；
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\\ x+1＞1-x\end{array}\right.$，解得0＜x＜1．
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 考查了利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，奇偶性在不等式中的應(yīng)用和對(duì)底數(shù)a的分類討論．