Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+a|，其中a為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值為2，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式|x-2|≥f（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的最小值，得到|a+1|=2，解出a的值即可；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|x+a|≤1，求出x的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-1|+|x+a|≥|（x-1）-（x+a）|=|a+1|，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）（x+a）≤0時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）_min=|a+1|，
由|a+1|=2，解得：a=1或a=-3；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=-x+1+|x+a|，
而|x-2|=-x+2，
由|x-2|≥f（x）恒成立，
得-x+2≥-x+1+|x+a|，
即|x+a|≤1，解得：-1-a≤x≤1-a，
由題意得[0，1]⊆[-1-a，1-a]，
則$\left\{\begin{array}{l}{-1-a≤0}\\{1-a≥1}\end{array}\right.$，即-1≤a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查了分類討論思想，是一道中檔題．