Question

如圖已知正四棱柱ABCD----A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，點(diǎn)E為CC₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD₁的中點(diǎn)。

 

 

（1）證明：EF⊥平面_;

（2）求點(diǎn)A₁到平面BDE的距離;

（3）求BD₁與平面BDE所成的角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 以D為原點(diǎn)，DA、DC、AA₁所在直線

為X、Y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

D(0，0，0)，B（1，1，0）

D₁（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（，，1）       

∴=（1，1，0），=（0，0，2），  

x

     =（，－，0）                                                                                                                 

由 ·=0，·=0，

得，EF⊥DB，EF⊥DD₁ ∴EF⊥面D₁DB_{1----------------------------------------------------}

(2) 設(shè)=（x,y,z）是平面BDE的法向量，=(1,1,0)， =(0,1,1)

由⊥, ⊥得 即

∴取y=1，=（-1，1，-1）

,由(2)知點(diǎn)到平面BDE的距離為  =----

(3) =(-1,-1,2)

由(2)知

設(shè)直線BD₁與平面BDE所成的角的正弦值為,則sin=,cos=

∴直線BD₁與平面BDE所成的角的余弦值為--------------------

【解析】略