Question

19．若二項(xiàng)式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)和求出n的值，再計(jì)算展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)；
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（1）因?yàn)槎��?xiàng)式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256，
所以（3-1）ⁿ=256，
解得n=8；…（3分）
則該展開式中共有9項(xiàng)，第5項(xiàng)系數(shù)最大；
二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為T₅=${C}_{8}^{4}$•（3x）^8-4•${（\root{3}{x}）}^{4}$=5670${x}^{\frac{8}{3}}$；…（6分）
（2）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（3x）^8-r•${（\root{3}{x}）}^{r}$=${C}_{8}^{r}$•3^8-r•${x}^{8-\frac{4}{3}r}$，
令8-$\frac{4}{3}$r=0，解得r=6；…（10分）
因此展開式的常數(shù)項(xiàng)為
T₇=${C}_{8}^{6}$•3^8-6=252．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)和以及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)、通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．