Question

【題目】某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2017年度進(jìn)行系列促銷活動(dòng)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，該紀(jì)念品的年銷售量 （單位：萬件）與年促銷費(fèi)用 （單位：萬元）之間滿足 于 成反比例.若不搞促銷活動(dòng)，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件.已知加工廠2017年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元，沒生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元.當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費(fèi)的一半”之和時(shí)，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等.（利潤(rùn)=收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)用）
（Ⅰ）請(qǐng)把該工廠2017年的年利潤(rùn) （單位：萬元）表示成促銷費(fèi) （單位：萬元）的函數(shù)；
（Ⅱ）試問：當(dāng)2017年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，該工程的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)反比例系數(shù)為 （ ）.由題意有 .

又 時(shí)， ，所以 ， ，

則 與 的關(guān)系是 （ ），

依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn) 萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為 萬元，促銷費(fèi)用為 萬元，則每件紀(jì)念品的定價(jià)為 元/件，

于是 ，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得 （ ）.

因此工廠2017年的利潤(rùn)為 （ ）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， （ ） ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)2017年的促銷費(fèi)用投入7萬元時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為42萬元.

【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的定義結(jié)合同意代入數(shù)值求出k的值，進(jìn)而通過x表示出年利潤(rùn)y的代數(shù)式，對(duì)其化簡(jiǎn)整理即可得到函數(shù)式。(2)根據(jù)題意利用基本不等式求出最值即可。