Question

過橢圓右焦點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|FB|=2|FA|，則橢圓的離心率為

2

3

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線為l，設(shè)A、B兩點(diǎn)在l上的射影分別為C、D，連接AC、BD，過點(diǎn)B作BG⊥AC利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，再結(jié)合直角△ABG中，∠BAG=45°，可求出邊之間的長度之比，可得離心率的值．

解答：解：如圖，設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線為l，過A點(diǎn)作AC⊥l于C，過點(diǎn)B作BD⊥l于D，再過B點(diǎn)作BG⊥AC于G，
在直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB=

2

AG，…①
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：e=

AF

AC

=

BF

BD

，
∵|FB|=2|AF|，∴|BD|=2|AC|，
在直角梯形ABDC中，AG=BD-AC=AC，…②
由①、②可得AB=

2

AC，
又∵AF=

1

3

AB=

2

3

AC，
∴e=

AF

AC

=

2

3

，
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了圓錐曲線的統(tǒng)一定義的應(yīng)用，結(jié)合解含有45°的直角三角形，求橢圓的離心率，屬于幾何方法，運(yùn)算量小，方便快捷．