Question

如圖：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

(1)求側(cè)棱BB₁的長(zhǎng)；

(2)求二面角A₁－B₁C－B的大小；

(3)求直線A₁B與平面A₁B₁C所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過(guò)C作CHAB于H，連結(jié)B1H，　　　1分 　　由ACH∽BCH得， 　　又AB＝4∴AH＝1，BH＝3，∵CH面ABB1A1， 　　A1BB1C，∴A1BB1H，　　　3分 　　∴A1B1B∽B1BH則有 　　解得BB1＝2　　　4分 　　(另解：連結(jié)B1C，證A1C1面BC　C1B1， 　　由B1CA1B得B1CBC1，從而得BB1＝2同樣給分) 　　(2)有(1)知A1C1面CC1B1，過(guò)C1作C1OB1C于O， 　　連結(jié)A1O，則二面角A1－B1C－C1的平面角為A1OC1　　　6分 　　tanA1OC1＝設(shè)二面角A1－B1C－B的平面角為，　　7分 　　則＝A1OC1＝arctan　　　　　　　　　　8分 　　(3)設(shè)點(diǎn)B到面A1B1C的距離為d 　　　　　10分 　　＝35設(shè)A1B與面A1B1C所成的角為， 　　則　　　　12分 　　另解： 　　(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝a 　　則A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，a)，B1(0，2，a)， 　　C1(0，0，a)3分 　　　　　　4分 　　(2)顯然面B1BC的法向量＝(1，0，0)，　　　5分 　　設(shè)面A1B1C的法向量＝(x，y，z) 　　　　　6分 　　　　　7分 　　設(shè)二面角A1－B1C－B的平面角為，則　　　8分 　　(3)　　　10分 　　設(shè)A1B與面A1B1C所成的角為，則 　　　　　12分