Question

9．己知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
①求f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
②用五點(diǎn)法作出其簡(jiǎn)圖；
③求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用和角公式展開，再利用二倍角公式與和角公式化簡(jiǎn)；
（2）列表，描點(diǎn)，作圖；
（3）根據(jù)x的范圍得出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：①f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ．解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
②列表：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）	0	2	0	-2	0

作出函數(shù)圖象如圖：

③∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-1，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的性質(zhì)，及五點(diǎn)法作圖．屬于中檔題．