Question

已知雙曲線，
（1）求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程．
（2）點P在橢圓E上，點C（2，1）關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為D，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由．
（3）平行于CD的直線l交橢圓E于M、N兩點，求△cmn面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程為，a＞b＞0，則a²=6+2=8，c²=6，由此能求出橢圓E的方程．
（2）依題意得D點的坐標(biāo)為（-2，-1），且D點在橢圓E上，直線CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，設(shè)P（x，y），則，，由此能推導(dǎo)出直線CP和DP的斜率之積為定值-．
（3）直線CD的斜率為，CD平行于直線l，設(shè)直線l的方程為y=，由，得x²+2tx+2t²-4=0，△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，由此能求出△CMN面積的最大值和此時直線l的方程．
解答：解：（1）∵雙曲線的頂點為（±，0），焦點為（，0），
設(shè)以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程為，a＞b＞0，
則a²=6+2=8，c²=6，
∴橢圓E的方程為．…（3分）
（2）依題意得D點的坐標(biāo)為（-2，-1），
且D點在橢圓E上，直線CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在，設(shè)P（x，y），
則，，
∴=，…（5分）
∵點Q在橢圓E上，∴x²=8-4y²，k_CP•k_DP==-．
∴直線CP和DP的斜率之積為定值-．…（7分）
（3）∵直線CD的斜率為，CD平行于直線l，
設(shè)直線l的方程為y=，
由，消去y，整理得x²+2tx+2t²-4=0，
△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得t²＜4，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2tx₁•x₂=2t²-4．…（10分）
∴|MN|=
=
=
=，-2＜t＜2．…（11分）
點C到直線MN的距離為d==，…（12分）
∴
=
=|t|•
=≤==2．
當(dāng)且僅當(dāng)t²=4-t²，即t²=2時，取等號．…（13分）
∴△CMN面積的最大值為2，此時直線l的方程為y=．…（14分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法及此時直線方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離公式的靈活應(yīng)用．