Question

10．某地決定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時對舊城區(qū)進行拆除．已知舊城區(qū)的住房總面積為64am²，每年拆除的數(shù)量相同；新城區(qū)計劃第一年建設(shè)住房面積am²，前四年每年以100%的增長率建設(shè)新住房，從第五年開始，每年都比上一年增加am²．設(shè)第n（n≥1，且n∈N）年新城區(qū)的住房總面積為${a_n}{m^2}$，該地的住房總面積為${b_n}{m^2}$．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若每年拆除4am²，比較a_n+1與b_n的大�。�

Answer 1

分析 （1）分1≤n≤4時和n≥5時兩種情況加以討論并結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式，分別求出第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為λ_n關(guān)于n、a的表達式，再利用等差、等比數(shù)列的求和公式即可求出{a_n}的通項公式關(guān)于n的分段形式的表達式；
（2）根據(jù)1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11時a_n+1和b_n的表達式，結(jié)合作差法比較不等式大小，可得a_n+1＜b_n；而當 n≥12時可得a_n+1-b_n=（5n-59）a＞0，從而得到a_n+1＞b_n，最后加以綜合即可得到a_n+1與b_n的大小的兩種情況．

解答 解：（1）設(shè)第n年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為${λ_n}{m^2}$，則當1≤n≤4時，λ_n=2^n-1a，
當n≥5時，λ_n=（n+4）a，
所以，當1≤n≤4時，${a_n}=（{2^n}-1）a$，
當n≥5時，a_n=a+2a+4a+8a+9a+…+n（n+4）a=$\frac{{n}^{2}+9n-22}{2}a$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（{2}^{n}-1）a}&{1≤n≤4}\\{\frac{{n}^{2}+9n-22}{2}}&{n≥5}\end{array}\right.$…6分
（2）當1≤n≤3時，a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a，b_n=（2ⁿ-1）a+64a-4na，顯然有a_n+1＜b_n…（7分）
當n=4 時，a_n+1=a₅=24a，b_n=b₄=63a，此時a_n+1＜b_n…（8分）
當5≤n≤16時，a_n+1=$\frac{{n}^{2}+11n-12}{2}$，b_n=$\frac{{n}^{2}+9n-22}{2}$，
∵a_n+1-b_n=（5n-59）a．
∴當5≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當12≤n≤16時，a_n+1＞b_n．
當n≥17時，顯然a_n+1＞b_n
故當1≤n≤11時，a_n+1＜b_n；當 n≥12時，a_n+1＞b_n…（13分）

點評 本題給出數(shù)列的實際應(yīng)用題，求{a_n}的通項公式并比較a_n+1和b_n的大小．著重考查了等差、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，以及不等式比較大小等知識，屬于中檔題．