Question

設(shè)角α=x(rad),且0＜x＜,于是x,sinx,tanx都是實(shí)數(shù),請(qǐng)你給x一個(gè)具體值,比較這三個(gè)實(shí)數(shù)的大小;然后想一想,你得到的大小關(guān)系是否對(duì)區(qū)間(0,)上的任意x都成立?

Answer 1

解:(1)不妨取x=,于是x=,sinx=,tanx=1,顯然sinx＜x＜tanx.

(2)如圖,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,過(guò)A點(diǎn)作圓的切線交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,連結(jié)AP,則sinx=MP,tanx=AT.

在△AOP中,=x·OP=x.

由圖易得S_△POA＜S_扇形POA＜S_△AOT,

即OA·MP＜·OA＜OA·AT,

所以MP＜＜AT,

即sinx＜x＜tanx,

即對(duì)區(qū)間(0,)上的任意x都成立.